第7章 7.30

$x^2 + y^2 < 1$ は半径１の円の内側を意味する

(1)

$x^2 \geq 0$ $y^2 \geq 0$ であり

$x^2 + y^2 < 1$ のとき $x \leq 1$ かつ $y \leq 1$ の条件に当てはまるが

$x \leq 1$ かつ $y \leq 1$ であっても負の数に制限がないため$x^2 + y^2 < 1$ になるとは限らない

よって必要条件である

(2)

$x^2 + y^2 < 1$ のとき $y < \sqrt{1 - x^2}$ の条件に当てはまるが

$y < \sqrt{1 - x^2}$であっても $y$ には負の数に制限がないため$x^2 + y^2 < 1$ になるとは限らない

よって必要条件である

(3)

$x^2 + y^2 < 1$ のとき $-\sqrt{1 - x^2} < y < \sqrt{1 - x^2}$ であり

$-\sqrt{1 - x^2} < y < \sqrt{1 - x^2}$ のとき $x^2 + y^2 < 1$ となる

よって必要十分条件である

(4)

$x^2 + y^2 < 1$ のとき $|x| < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$かつ$|y| < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の条件に当てはまるとは限らない

例えば $(x, y) = (0.9, 0)$ でも $x^2 + y^2 < 1$ は成り立つ

$|x| < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$かつ$|y| < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき これは半径 $1/\sqrt{2}$の円の内側を表すので $x^2 + y^2 < 1$ となる

よって十分条件である